DIFERENSIAL EKSAK DAN TAK EKSAK

DIFERENSIAL EKSAK DAN DIFERENSIALTIDAK EKSAK DALAM TERMODINAMIKA

Termodinamika merupakan bagian dari cabang Fisika yang namanya Termofisika (Thermal Physics). Termodinamika adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara energi dan kerja dari suatu sistem. Termodinamika hanya mempelajari besaran-besaran yang berskala besar (makroskopis) dari sistem yang dapat diamati dan diukur dalam eksperimen. Besaran-besaran yang berskala kecil (mikroskopis) dipelajari dalam Teori Kinetik Gas (Kinetic Theory of Gas) atau Fisika Statistik (Statistical Physics).

Termodinamika juga dapat diartikan sebagai ilmu yang menjelaskan kaitan antara besaran fisis tertentu yang menggambarkan sikap zat di bawah pengaruh kalor. Besaran fisis ini disebut koordinat makroskopis sistem. Kaitan atau rumus yang menjelaskan hubungan antar besaran fisis diperoleh dari eksperimen dan kemudian dapat digunakan untuk meramalkan perilaku zat di bawah pengaruh kalor. Jadi, Termodinamika merupakan ilmu yang berlandaskan pada hasil-hasil eksperimen.

Termodinamika dalam arti sempit merupakan salah satu ranting dari Ilmu Alam, Ilmu Thobi’ah, atau Fisika yang mempelajari materi yang ada dalam keadaan setimbang terhadap

perubahan temperatur, tekanan, volume, dan komposisi kimia. Termodinamika didasarkan pada empat konsepsi empiris, yaitu: hukum ke nol, pertama (yang berkaitan dengan kerja suatu sistem), kedua, dan ketiga Termodinamika. Oleh karena itu, sebagian ahli menyatakan, Termodinamika merupakan ranting Fisika yang mempelajari hubungan antara kalor dan kerja.

Ada dua pendapat mengenai pemanfaatan Termodinamika. Versi pertama datang dari Fisikawan dan Kimiawan. Mereka lebih condong menggunakan Termodinamika untuk meramalkan dan menghubungkan pelbagai sifat zat di bawah pengaruh kalor dan mengembangkan data termodinamis. Versi kedua berasal dari para Insinyur (Engineer). Mereka lebih condong menggunakan data termodinamis dan gagasan dasar ketetapan energi serta produksi entropi untuk menganalisis perilaku sistem yang kompleks.

Secara umum Termodinamika dapat dimanfaatkan untuk:

1. menjelaskan kerja beberapa sistem termodinamis.

2. menjelaskan mengapa suatu sistem termodinamis tidak bekerja sesuai dengan yang diharapkan.

3. menjelaskan mengapa suatu sistem termodinamis sama sekali tidak mungkin dapat bekerja.

4. landasan teoritis para Insinyur perencana dalam mendisain suatu sistem termodinamis; misalnya: motor bakar, pompa termal, motor roket, pusat pembangkit tenaga listrik, turbin gas, mesin pendingin, kabel transmisi superkonduktor, LASER daya tinggi, dan mesin pemanas surya.

Termodinamika memusatkan perhatiannya pada faham mengenai:

1.    ketetapan energi.

2.    ketetapan entropi, dalam arti, proses yang menghasilkan entropi mungkin dapat terjadi, namun proses yang menghapuskan entropi mustahil terjadi.

3.    entropi yang dapat digunakan untuk menentukan jumlah daya berguna maksimum yang dapat diperoleh dari berbagai sumber energi untuk melakukan kerja.

A. Pengertian Diferensial

Suatu persamaan yang mengandung fungsi atau turunannya dinamakan persamaan diferensial. Jika mengandung turunan parsial dinamakan persamaan diferensial parsial. Selaij persamaan diferensial parsial, dikenal persamaan diferensial yang lain dinamakan persamaan diferensial biasa.

B. Diferensial Total

Perhatikan fungsi x = x (y, z). Andaikan fungsi ini benar-benar ada, artinya “x is an existing function of y and z”, maka nilai x dapat berubah karena y berubah tetapi z tidak, atau z berubah tetapi y tidak, atau y dan z keduanya berubah. Perubahan-perubahan ini secara matematis dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan atau diferensial tak eksak.

Diferensial total dari x adalah dx yang nilainya sama dengan perubahan x karena y berubah ditambah dengan perubahan x karena z berubah. Secara matematis dapat dinyatakan:

dx = (∂x / ∂y)_z dy + (∂x / ∂z)_y dz  ……….. (1.3)

Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan perubahan total x. Karena dx merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang benar-benar ada, maka dx disebut diferensial eksak. Jika dx merupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang benar-benar tidak ada, maka dx disebut diferensial tak eksak.

Dalam hal ini (∂x / ∂y)_z dy merupakan perubahan x karena y berubah, sedangkan z tidak berubah dan (∂x / ∂z)_y dz merupakan perubahan x karena z berubah, sedangkan y tidak berubah. Sedangkan (∂x / ∂y)_z dinamai diferensial parsial x ke y dengan z tetap yang biasa ditulis sebagai M (yz) dan (∂x / ∂z)_y dinamai diferensial parsial x ke z dengan y tetap yang biasa ditulis sebagai N (yz). Dalam persamaan I.3 dy disebut sebagai perubahan y dan dz disebut sebagai perubahan z.

C. Syarat Euler dan Dalil Rantai

Telah dijelaskan di atas, bahwa ada fungsi yang benar-benar ada (existing) dan ada fungsi yang benar-benar tidak ada. Jika fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada dan dapat didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka urutan pendiferensialan (diferensiasi) tidak menjadi masalah. Artinya,

(∂ ² x / ∂y ∂z) _{z, y} = (∂ ² x / ∂z ∂y) _{y, z} atau

(∂M / ∂z)_y  =  (∂N / ∂y)_z . …….. (1.4)

Persamaan I.4 dikenal sebagai syarat Euler. Jadi, syarat Euler merupakan syarat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada. Dapat pula dinyatakan, diferensial total suatu fungsi yang benar-benar ada (yang memenuhi syarat Euler) adalah diferensial eksak.

Jika fungsi x = x (y, z), maka dx = (∂x / ∂y)_z dy + (∂x / ∂z)_y dz. Fungsi ini dapat dilihat sebagai fungsi y = y (x, z) dengan dy = (∂y / ∂x)_z dx + (∂y / ∂z)_x dz. Jika dy disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:

dx = (∂x / ∂y)_z {(∂y / ∂x)_z dx + (∂y / ∂z)_x dz} + (∂x / ∂z)_y dz atau

dx = {(∂x / ∂y)_z (∂y / ∂x)_z } dx + {(∂x / ∂y)_z (∂y / ∂z)_x + (∂x / ∂z)_y } dz yang

berlaku untuk setiap dx dan dz. Hal ini terpenuhi jika

1. {(∂x / ∂y)_z (∂y / ∂x)_z } = 1 atau (∂x / ∂y)_z  = {1 / (∂y / ∂x)_z } ….. (1.5)

2. {(∂x / ∂y)_z (∂y / ∂z)_x + (∂x / ∂z)_y } = 0 atau

{(∂x / ∂y)_z (∂y / ∂z)_x  (∂z / ∂x)_y} =  -1 ……………… (1.6)

Persamaan I.6 dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai atau “chine rule”.

Dalam Termodinamika konsep diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan diferensial tak eksak sangat diperlukan. Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini sangat bergantung pada keaadaan sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem termodinamis. Oleh karena itu, Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertian-pengertian dan pemaknaan diferensial dalam Termodinamika.

Sebagai teladan, perhatikan keadaan gas yang ada dalam bejana yang dilengkapi dengan pengisap (piston) seperti gambar I.1. berikut.

GAS

Gambar 1.1 : Gas dalam Bejana yang Dilengkapi dengan Piston

Gambar I.1 melukiskan keadaan gas yang ada dalam bejana dengan volume V, tekanan p, temperatur T, dan jumlah partikel N . Jika bejana tidak bocor, maka jumlah partikel gas (N) harganya selalu tetap. Besaran p, V, dan T saling berhubungan. Eksperimen menunjukkan, jika dua besaran menjadi variabel bebas, maka satu besaran lainnya menjadi variabel terikat. Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk implisit berikut.

f (p, V, T) = 0 …………… (1.7)

Bentuk eksplisitnya ada tiga, yaitu:

(a). p = p (V, T).   (b). V = V (p, T).  (c). T = T (p, V). ………. (1.8)

Bentuk diferensialnya ada tiga, yaitu persamaan 1.9. (a), (b), dan (c) berikut.

1.9. (a). dp = (∂p / ∂V)_T dV + (∂p / ∂T)_V dT

1.9. (b). dV = (∂V / ∂p)_T dp + (∂V / ∂T)p dT

1.9. (c). dT = (∂T / ∂p)_V dp + (∂T / ∂V)p dV

Makna fisis dari persamaan 1.9. (a) dapat dijelaskan sebagai berikut.

(1).dp = perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.

(2).dV = perubahan volume gas dan dT = perubahan temperatur gas.

(3). (∂p / ∂V)_T = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis.

(4). (∂p / ∂T)_V = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.

Makna fisis dari persamaan 1.9. (b) dan (c) dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Indeks pada diferensial parsial menunjukkan prosesnya. Misalkan ada indeks p, maka perubahan parsial terjadi pada proses isobaris (proses tekanan tetap).